2000 yılında Rize'de doğan Barış Alper Yılmaz, futbola doğduğu şehrin takımlarından Rize Özel İdare Spor'da başladı (2011). 2017 yılına kadar burada forma giydikten sonra, 2017-2018 sezonunda Ankara Demirspor'a transfer oldu ve profesyonel kariyerine başlangıç yaptı.
Ankara Demirspor'da geçirdiği üç sezonda 43 resmi maça çıkan genç oyuncu, 2020/2021 sezonunun başında Ankara Keçiörengücü'ne transfer oldu. Geçtiğimiz sezon TFF 1. Lig'de 34 maça çıkan Yılmaz, 8 gol atıp 5 asist yaparak önemli bir performans sergiledi.
Profesyonel kulüp kariyerinde toplamda 79 maça çıkan Yılmaz, 9 gol atarken 5 de asistle skora katkı sağladı. Ayrıca, Türkiye U21 milli takım formasını üç kez giydi ve Hırvatistan ile oynanan maçta milli formayla ilk golünü attı.
Barış Alper Yılmaz, 2021-2022 sezonundan bu yana Galatasaray forması giymektedir. 2022-23 sezonunda Galatasaray ile Süper Lig şampiyonluğu yaşadı.